
\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\geometry{
	a4paper,
	left=12.7 mm,
	right=12.7 mm,
	top=12.7 mm,
	bottom=12.7 mm,
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\usepackage{tikz}

\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	
	\section{级数法求解ODE入门}
	\footnote{使用AI辅助}
	在本笔记中，我们探讨使用级数解求解常微分方程ODE的基本思路。
	所谓级数解，就是假定解的形式可以被写为一个多项式，然后根据ODE及初始条件等确定相应的系数，从而得到解的形式。

	假设我们要求解一个非常简单的ODE：
	\begin{equation}
	u = u(t) 
	\qquad 
	\begin{cases}
		\dv{u}{t} = -k^2 u \\
		u|_{t = 0} = c_0 \\
		\dv{u}{t}|_{t=0} = c_1 \\
	\end{cases}
	\qquad 
	(k > 0)
	\end{equation}
	（当然，我们已经知道这个ODE的解的形式为$u = A \cos kt + B \sin kt$）首先我们设$u$具有多项式形式：
	\begin{equation}
	u = \sum_{n = 0}^{\infty} c_n t^n = c_0 + c_1 t + c_2 t^2 + c_3 t^3 + c_4 t^4+\dots
	\end{equation}
	将其代入ODE：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\text{左边：} \qquad \dv[2]{u}{t} &= 2 c_2 + 6 c_3 t + 12 c_4 t^2 + \dots \\
			\text{右边：} \qquad -k^2 u &= -k^2(c_0 + c_1 t + c_2 t^2 + c_3 t^3 + c_4 t^4 + \dots)
		\end{aligned}
	\end{equation}
	比较左、右边，根据对应项系数相同可以得到以下等式：
	\begin{equation}
	\begin{cases}
		-k^2 c_0 &= 2c_2 \\
		-k^2 c_1 &= 6c_3 \\
		-k^2 c_2 &= 12c_4 \\
		\cdots
	\end{cases}
	~\Rightarrow~
	c_n = \frac{(-k^2)c_{n-2}}{n(n-1)} \qquad n=2,3,4,...
	\end{equation}
	我们将ODE转换为了系数$c_n$的递推关系，
	但注意$c_0, c_1$不能由递推关系（ODE）确定，而应由初始条件确定，
	这再次印证了求解ODE需要初始条件。
	此外，我们发现这个解的偶数项($n=0,2,4,...$)与奇数项($n=1,3,5,...$)的迭代是分别的。

	\begin{figure}[h]
		\centering % 使图形居中
		\begin{tikzpicture}[node distance = 1.5cm, auto]
			% 定义节点
			\node (c0)  [draw, rectangle] {$c_0$};
			\node (c1)  [draw, rectangle]  [right of = c0] {$c_1$};
			\node (c2) [right of = c1] {$c_2$};
			\node (c3) [right of = c2] {$c_3$};
			\node (c4) [right of = c3] {$c_4$};
			\node (c5) [right of = c4] {$c_5$};
			\node (c6) [right of = c5] {$c_6$};
			\node (dots1) [right of = c6] {$\dots$};
			
			% 绘制箭头
			\draw[->] (c0) to [out=30, in=150] (c2);
			\draw[->] (c2) to [out=30, in=150] (c4);
			\draw[->] (c4) to [out=30, in=150] (c6);
			
			\draw[->] (c1) to [out=-30, in=-150] (c3);
			\draw[->] (c3) to [out=-30, in=-150] (c5);
		\end{tikzpicture}
		\caption{迭代顺序示意图} % 添加图形标题
	\end{figure}

	这一迭代关系启发我们分开书写$u$多项式的偶数与奇数项：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			u &= c_0 + c_2 t^2 + c_4 t^4 + \dots + c_1 t + c_3 t^3 + c_5 t^5 + \dots \\
			& = c_0 + \frac{(-k^2) c_0}{2\cdot 1} t^2 + \frac{(k^4) c_0}{4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1} t^4 + \dots 
			+ c_1 t + \frac{(-k^2) c_1}{3\cdot 2} t^3 + \frac{(k^4) c_1}{5!} t^5 + \dots \\
			& = c_0(1 + \frac{(-k^2)}{2!} t^2 + \frac{(k^4)}{4!} t^4 + \dots)
			+ \frac{c_1}{k} (kt + \frac{(-k^3)}{3!} t^3 + \frac{(k^5)}{5!} t^5 + \dots)
		\end{aligned}
	\end{equation}
	注意到$\sin kt$与$\cos kt$在$t=0$的Taylor展开：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\sin kt &= kt - \frac{(k^3)}{3!} t^3 + \frac{(k^5)}{5!} t^5 + \dots \\
			\cos kt &= 1 - \frac{(k^2)}{2!} t^2 + \frac{(k^4)}{4!} t^4 + \dots
		\end{aligned}
	\end{equation}
	因此
	\begin{equation}
		u = c_0 \cos kt + \frac{c_1}{k} \sin kt
	\end{equation}
	其中$c_0, c_1$由初始条件确定。由此，我们使用级数法，再次得到了解的形式。耶！

\end{document}
